En aritmética la idea de cantidad es un tanto limitado, se refiere a números concretos. pero en Álgebra, el concepto de cantidad se extiende con el uso de variables o letras que pueden representar cualquier valor que le asignemos, extraído de los números reales.
Para comprender mejor este concepto recurramos
El Álgebra es muy divertida – ¡puedes resolver acertijos con ella!
Cuyo Acertijo a resolver es
¿Cuál es el número que falta?
Nos detendremos a pensar un momento, la respuesta es 6, Porque 6 - 2 = 4.
En el Álgebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que se usa una letra (normalmente una X o una Y, pero cualquier letra está bien). Entonces si reemplazamos a la caja por una X escribiríamos:
La letra reemplazada (en este caso una X) sólo quiere decir “aún no lo sabemos” y se la llama frecuentemente incógnita o variable.
Una vez resuelta, se escribe de la siguiente manera:
¿Por qué es necesario usar una letra?
Porque:
es más fácil escribir “x” que dibujar cajitas vacías (y más fácil decir “x” que “caja vacía”)
si hubiera muchas cajitas vacías (muchas “incógnitas”) podríamos utilizar una letra diferente para cada una.
Cómo Resolver
El álgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como “x - 2 = 4” y quieres llegar a algo como “x = 6”.
Pero en lugar de decir “obviamente x = 6”, usa el siguiente método paso a paso:
Piensa qué es lo que debes quitar para llegar a “x=…”
Quítalo haciendo lo opuesto (sumar es opuesto a restar)
Esto último hazlo en ambos lados
Aquí tienes un ejemplo:
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios, binomio y polinomios.
MONOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo:
12m⁴
- a² b .
BINOMIOS:
Es una expresión algebraica que consta de dos términos, por ejemplo:
x² - y²
a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷
POLINOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de dos o mas términos, por ejemplo:
x + y + z
9m² - 16n⁴
2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135
Para completar esta pagina le invito ver la siguiente presentación:
ANIMACIONES PREZI
ANIMACIONES FLASH
ANIMACIONES EN HTML5
BIBLIOGRAFIA:
Gutiérrez F., P. A. (2007). Matemáticas 1. La Hoguera.
Maravilloso vídeo, Se trata de Inspirations, creado por Cristóbal Vila, de Etérea Estudios. A lo largo del recorrido de esta animación vemos muchos objetos. Algunos son obras del propio Escher y otros podrían ser simplemente sus herramientas de trabajo, Cristobal Vila se inspira en la geometría y en los trabajos de Escher.
para comprender a que me refiero vea el siguiente vídeo le aseguro que deleitara su vista:
A continuación hare una breve explicación sobre aquellos elementos que tienen una marcada naturaleza matemática con
relación a las ecuaciones diferenciales.
Entre
ellos tenemos:
Fórmula de Euler
Se considera como una
de las fórmulas más “bellas”, ya que interrelaciona varios de los números más
importantes de la matemática. Además establece una potente conexión entre el
análisis matemático y la trigonometría.
La
fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la
trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas
polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números
complejos.
Curvas Cicloides
En el
modelo que aparece en la animación vemos cómo se origina una curva a partir de
una rueda que gira sobre una base recta, sin deslizarse. Si el punto generador
se encontrase en el borde mismo de la rueda obtendríamos una cicloide común,
pero en nuestro modelo el radio puede variar, para dar lugar a cicloides
alargadas o acortadas.
En el
diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas
cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del
siglo XX. En la actualidad solo se utilizan en mecanismos de relojería, puesto
que generalmente se prefiere la evolvente del círculo. En Física se puede ver
que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el
centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.
Un uso
práctico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se
utilizaron en la industria aeronaútica, pues se requería una forma apropiada de
salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.
Péndulo simple o matemático
También
llamado péndulo ideal está constituido por un hilo inextensible de masa
despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa
puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano
vertical fijo. Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a
ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con
movimiento periódico.
Péndulo de Newton
Es un dispositivo que demuestra
la conservación de la energía y la cantidad de movimiento. Sus soluciones de la
conservación de la energía y la cantidad de movimiento tiene relación con las
ecuaciones diferencial.
El
péndulo de Newton, consta de cinco (o más) bolas idénticas, cada una de las
cuales cuelga de un par de hilos, de manera que todas ellas están en contacto y
alineadas. Cuando se separa una de las bolas de un extremo y se suelta para que
choque contra las otras bolas, se observa que la bola que hay en el otro
extremo se pone en movimiento y alcanza la misma altura que la bola que se
soltó inicialmente; mientras tanto, el resto de bolas permanece en reposo.
Este
ciclo de oscilaciones, en el que alternativamente sale disparada una bola de
cada extremo (mientras que las otras cuatro quedan en reposo), se repite hasta
que el movimiento se detiene debido a la fricción. Independientemente del
número de bolas que se liberen para iniciar el movimiento, siempre entran en
movimiento las mismas bolas de cada extremo del conjunto. El comportamiento de
este movimiento pendular puede explicarse aplicando la conservación del momento
lineal y de la energía cinética a una secuencia de colisiones elásticas entre
bolas vecinas. Puede alterarse el movimiento descrito utilizando un poco de
plastilina para modificar la masa de alguna de las bolas o para hacer que se
queden juntas al chocar.
En la naturaleza que vivimos encontramos muchas
cosas al nuestro alrededor y todo tiene relación con la matemática, pero no
existe ningún lugar sin flores, quienes son las que entre sus diseños están
relacionadas con la matemática. El
origen de las matemáticas se encuentra en la naturaleza. Fue gracias a la
observación del entorno que se desarrolló dicha ciencia. Y aunque a veces
podamos olvidar esta relación frecuentemente la naturaleza misma se encarga de
recordárnosla.
Esta vez son las flores quienes nos hacen ver
la perfección matemática que, como una corriente subterránea y secreta, se
esconde en muchos de sus diseños: patrones que se corresponden con uno de los
conceptos matemáticos más apasionantes que es la secuencia de Fibonacci.
Leonardo de Pisa descubrió en el siglo XIII
esta secuencia numérica que inicia en 0 y 1 y a partir de entonces cada número
resulta de la suma de los dos anteriores. Desde entonces la serie de Fibonacci
se ha utilizado en música, arquitectura, pintura y otras artes, imitando el
armónico efecto que se manifiesta en diseños naturales como caracolas, galaxias
y, en este caso, flores.
“La naturaleza ama ocultarse”, decía Heráclito,
y presenciar el ombligo geométrico de las flores nos sugiere que las
matemáticas, en un afán fractal, se ocultan en la naturaleza misma.
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de
números que, empezando por la unidad,
cada uno de sus términos es la suma de los dos anteriores
(1,1,2,3,5,8,13,…). Resulta sorprendente que una construcción matemática como
esa aparezca recurrentemente en la naturaleza. La distribución de las hojas
alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las
semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas
exclusivamente en estos números. ¿Se trata de una simple casualidad, o existe
alguna especie de “plan oculto” que vincula las matemáticas con la naturaleza?
Una sucesión matemática es una aplicación
definida sobre los números naturales. Esto, en castellano, quiere decir que es
una serie de números que se genera aplicando determinadas reglas. De hecho, es
muy sencillo imaginar una sucesión de números, y existen infinitas de ellas.
Sin embargo, algunas son más “famosas” que otras. Por lo general, se intenta
que las leyes que dan lugar a la sucesión sean lo más simple y claras posibles.
Leonardo de Pisa (1170 – 1250), también conocido como Fibonacci, fue un
matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de
numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito
de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad. Leonardo también ideó una
sucesión de números que lleva su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”.
Se trata
de una sucesión muy simple, en la que cada
término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza
por el número 1, y continua con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597, 2584…, ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5;
13=5+8=; 21=8+13… etc. Los números
de Fibonacci, otro de los nombres que recibe este grupo
de valores, poseen varias propiedades interesantes. Quizás una de las más
curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se
aproxima a la denominada “razón
dorada”, “sección
áurea” o “divina
proporción”. Este número, descubierto por los renacentistas, tiene
un valor de (1+ raíz de 5)/2 = 1.61803…,
y se lo nombra con la letra griega Phi. La sucesión formada por los cocientes
(resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge,
rápidamente, hacia el número áureo.
La proporción Áurea, también llamada sección
áurea, proporción divina o número áureo, en realidad se trata de un principio
simple, aunque al mismo tiempo enigmático, que se repite hasta el infinito en
la naturaleza, el arte y la ciencia. Podemos observar la proporción áurea en la
disposición de las semillas en ciertas plantas, en el árbol genealógico de las
abejas, en las pirámides, en catedrales góticas, en obras artísticas del
Renacimiento, en el cuerpo humano o en conchas, por mencionar solamente algunos
de los casos incontables en que se observa este fenómeno.
Los matemáticos lo llaman, el número de oro,
número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea,
proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega Φ (phi)
(en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional 1,6180339 …
El
origen del número áureo está en el pentagrama y por ende en el número 5.
Este número, según Kepler, se encuentra en todas las flores que se
convertirán en fruto, es decir, en la creación, y que no existen por ellas
mismas si no por el producto que las sucederá. Los Pitagóricos sentían
fascinación por el número 5 y admiración por la estrella de cinco puntas como
consecuencia inicial por el interés en la proporción áurea.
La
proporción áurea también tiene una relación directa con la secuencia de
Fibonacci, la cual se obtiene a partir de cualquier número, sumando el
siguiente en orden ascendente. Esto es: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144… Y si se divide cada número entre su predecesor se obtiene un
resultado cada vez más cercano a 1,61803, que es el valor de Phi.
Algunos
aseguran que Leonardo encontró estos números cuando estudiaba el crecimiento de
las poblaciones de conejos, y es muy posible que así sea. Imaginemos que una
pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese
momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a
la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos
conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Acertaste: cada mes
habrá un número de conejos que coincide con cada uno de los términos de la
sucesión de Fibonacci. Auque suene increíble si es así. Y pero eso no es nada
hay más elementos de la naturaleza que se encuentran relacionadas como ser Las
ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar el
máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen
alrededor del tallo. Si miras un poco en tu jardín, verás que no hay plantas en
que las hojas se encuentren una justo en la vertical de la otra. En general, las
hojas nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo. Fijemos nuestra atención
en una hoja de la base del tallo y asignémosle el número cero. Luego, contemos
cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos directamente sobre la hoja
"cero". Veremos que en la mayoría de las plantas este número
pertenece la sucesión de Fibonacci. Además,
si contamos cuántas vueltas dimos antes de obtener la superposición de
las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci.
También
En algunas flores, el número total de
pétalos y su disposición también albergan números Fibonacci y conexiones con la
proporción áurea. La mayor parte de las margaritas silvestres, por ejemplo,
tienen 3,5, 13, 21 o 34 pétalos.
Así
pues, no será extraño descubrir que la posición de los pétalos de una rosa sigue un orden basado en la proporción áurea, o
que cuando un tallo vertical crece, produce hojas a espacios bastante regulares
y que las hojas se disponen siguiendo modelos espirales en ciclos de cinco.
Además
también se observa en la forma que están agrupadas las semillas de un girasol. Y así sucesivamente, punto tras punto,
iríamos obteniendo paulatinamente unas distribuciones como las que tienen en
las siguientes figuras.
Esta
figura representa la forma más compacta en la que pueden agrupar un conjunto
sobre un plano.
Si observas atentamente la configuración de las semillas verán cómo aparecen una
serie de patrones en espiral. En la ilustración tienen resaltadas tres de las
tipologías de espirales que podemos encontrar. Si nos centramos en una de las
espirales obtendremos un número que se encuentra en la Sucesión Fibonacci.
cuya gran mayoría posee 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y
144 respectivamente.
Simplemente,
las plantas que acomodan sus semillas de esta forma logran “meter” una mayor
cantidad de ellas en el mismo espacio, “economizando” valiosos recursos. A lo
largo de los milenios, la selección natural las ha premiado con la
proliferación, a la vez que ha extinguido a las menos eficientes.
complementando esta información te invito a ver el siguiente vídeo:
es así como en la naturaleza se encuentra la sucesión de Fibonaci. A continuación te describo otros ejemplos.
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de Fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.
Otro ejemplo es la proporción entre abejas hembra y macho en una colmena suele ser similar a la proporción áurea.
Y ya que hablamos de abejas, éstas cumplen con otra regla, en esta ocasión relacionada con la sucesión de Fibonacci: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.
La geometría (proviene del idioma griego geo = tierra y metria = medida es decir medida de la tierra), es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de las figuras geométricas en plano o espacio.
La geometría es una de las ciencias mas antiguas. inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes, posteriormente ese configuro la geometría en forma de axiomática, tratamiento que estableció una forma a seguir durante muchos siglos. opuesto que se genero al estudio de la naturaleza y sus fenómenos. Con una simple mirada hacia nuestro entorno a todo lo que nos rodea se observa que las figuras y las relaciones geométricas abstractas que encontramos en los libros de matemáticas se encuentran por todas partes del nuestro alrededor, la geometría está presente de manera directa en la naturaleza y en nuestra vida cotidiana.
En cualquier espacio natural la geometría siempre está presente, sin embargo, pocos logramos percibir su belleza.
La fotografía en muchos casos, es capaz de capturar y comunicar la perfección y equilibrio de los múltiples hexágonos, tetraedros, cuadrados, triángulos y otras figuras increíbles que se dan en la naturaleza.
El estudio de los fractales y sus ecuaciones han sido aplicados para calcular los patrones de distribución de los terremotos y sus réplicas. Los programas de mapeo geográfico en computadoras también utilizan los algoritmos fractales para escalar los paisajes a diferentes tamaños.Para complementar esta información te invito a ver el siguiente vídeo:
Es así como en nuestra naturaleza se puede encontrar la matemática por todos lados en especial la geometría.
